Johann Bernoulli

FRACCIONES PARCIALES

Contenido

Introducción
Descomposición en fracciones parciales con factores lineales distintos.
Descomposición en fracciones parciales con factor lineal repetido.
Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.
Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático repetido.
Evaluación

Te invito a resolver la siguiente sopa de letras en donde podrás encontrar varios términos con los cuáles trataremos más adelante , lo puedes encontrar en el siguiente enlace https://es.educaplay.com/recursos-educativos/11254886-fracciones_parciales.html

INTRODUCCIÓN

APRENDER ES DESCUBRIR QUE ALGO ES POSIBLE

El uso de las fracciones parciales ha permitido solucionar múltiples problemas en el Algebra y de ahí su importancia en aprenderlas. Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

¿Qué es una fracción parcial?

Las fracciones parciales son fracciones formadas por polinomios, en las que el denominador puede ser un polinomio lineal o cuadrático y, además, puede estar elevado a alguna potencia. A veces, cuando tenemos funciones racionales resulta de gran utilidad reescribir dicha función como una suma de fracciones parciales o fracciones simples. Una función racional es simplemente el cociente entre dos polinomios, y pueden ser propias o impropias

NOTAS

Se dice que una función racional P(x)/Q(x) es una fracción propia, si el grado polinomio P (x) es menor que el grado del polinomio Q(x).
Si el grado de P(x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia.
Cuando tenemos una función racional impropia, podemos dividir el polinomio del numerador entre el polinomio del denominador y así rescribir la fracción p(x)/q(x).

¿ ESTÁS LISTO PARA REFORZAR EL TEMA APRENDIDO ?

¿A que llamamos fracciones parciales? ¿Cómo se representan? ¿Cuáles son los casos? Te invito a mirar el siguiente video en dónde podrás observar la introducción de cada uno de los casos y la forma de integrar usando el método de fracciones parciales mediante una breve explicación .

Existen 4 casos dentro de las fracciones parciales a la hora de tener factorizados los denominadores, que son:

PRIMER CASO

Descomposición en fracciones parciales con factores lineales distintos

El video a continuación , te permitirá conocer la definición, representación y explicación sobre el caso 1 mediante un ejemplo.

SEGUNDO CASO

Definición

Se dice que una función racional P(x) / Q(x) es una fracción propia , si el grado del polinomio P(x) es menor que el grado del polinomio Q(x).

En caso contrario ,es decir si el grado P(x) es mayor o igual al de Q(x) , la fracción se llama impropia.

Descomposición en fracciones parciales con factor lineal repetido:

Si Q(x) tiene un factor lineal repetido k veces de la forma (a1x+b1) ^k, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene k términos de la forma:

Dónde A1,A2 ,Ak son constantes.

Ejercicio con procedimiento

Descomponer en fracciones parciales

Paso 1 Descomponer

Escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el denominador el

término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el denominador el término repetido

elevado al cuadrado así:

Paso 2

Multiplicar ambos miembros de la igualdad por el denominador común.

Paso 3 Operamos los paréntesis

3.1 Desarrollamos lo que está dentro de los paréntesis:

3.2 Se multiplican las literales por lo que está dentro de los paréntesis:

3.3 Se quita los paréntesis:

3.4 Ordenamos los productos en jerarquía:

3.5 Factorizamos

Paso 3 Dividimos en 3 ecuaciones:

Tomando cada término antes del signo de igual (=) lo convertimos en ecuación con los términos

correspondientes que están después del signo de igual.

Es decir:

Paso 4 Resolvemos.

Paso 5 Sustituir los valores en la primera ecuación:

Paso 6 Sustituir los valores en la segunda ecuación:

Paso 7 Sustituir todos los valores obtenidos:

Respuesta:

TERCER CASO

Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.

Si Q(x) tiene un factor cuadrático no repetido de la forma ax ^2 + bx + c, en donde, b ^2 − 4ac < 0, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma:

Dónde A y B son constantes

Ejercicio con procedimiento

Descomponer en fracciones parciales

Paso 1 Descomponer el denominador de la fracción y tenemos que:

Paso 2 Multiplicar por el denominador común:

Paso 3 Operamos los paréntesis

3.1Desarrollamos lo que está dentro de los paréntesis.

3.1Se multiplica los literales por lo que está dentro del paréntesis.

3.3Quitámos los paréntesis.

3.4 Ordenamos los productos en jerarquía.

3.5 Factorizamos .

3.6 Obtenemos el sistema.

Respuesta

CUARTO CASO

Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

Si Q(x) tiene un factor cuadrático repetido k veces de la forma (ax^ 2 + bx + c)^ k , donde b ^ 2 − 4ac < 0, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene k términos de la forma: